Superficie

grandeur physique
Nom de famille	Superficie Superficie Superficie en coupe transversale
symbole	${\displaystyle A}$(Région)
Dérivé de	longueur
Taille et système d'unités Unité dimension SI m 2 L2 _ CG cm2 _ L2 _ Planche Surface de Planck ħ G c −3 _ _

La somme des aires des trois figures sur fond quadrillé est d'environ 15,57 carrés

La zone est une mesure de la taille d'une zone . Par aire, on entend les structures bidimensionnelles , c'est-à-dire celles dans lesquelles on peut se déplacer dans deux directions indépendantes. Cela inclut les figures habituelles de la géométrie plane telles que les rectangles , les polygones , les cercles , mais aussi les surfaces limites des corps tridimensionnels tels que les cuboïdes , les sphères , les cylindres , etc. Ces surfaces sont déjà suffisantes pour de nombreuses applications, des surfaces plus complexes peuvent souvent être composé d'eux ou approximé par eux .

L'aire joue un rôle important en mathématiques, dans la définition de nombreuses grandeurs physiques, mais aussi dans la vie de tous les jours. Par exemple, la pression est définie comme une force par surface, ou le moment magnétique d'une boucle conductrice est défini comme un courant multiplié par la surface. Les tailles des propriétés et des appartements sont comparables en précisant leur surface au sol. La consommation matérielle, par exemple des semences pour un champ ou de la peinture pour peindre une surface, peut être estimée en utilisant la surface.

L'aire est normalisée en ce sens que le carré unité , c'est-à-dire le carré de côté 1, a pour aire 1 ; Exprimé en unités de mesure , un carré de 1  m de côté a une aire de 1  m ² . Afin de rendre des aires comparables quant à leur aire, il faut exiger que les aires congruentes aient la même aire et que l'aire des aires combinées soit la somme des aires des aires partielles.

En règle générale, les surfaces ne sont pas mesurées directement . Au lieu de cela, certaines longueurs sont mesurées, à partir desquelles la surface est ensuite calculée. Pour mesurer l'aire d'un rectangle ou d'une sphère, on mesure généralement les longueurs latérales du rectangle ou le diamètre de la sphère et on obtient l'aire souhaitée à l'aide des formules géométriques énumérées ci-dessous.

En technologie , les planimètres mécaniques sont utilisés pour la détermination approximative des superficies. Le résultat peut être lu sur une échelle. Les chimistes déterminaient le contenu de n'importe quelle zone à l'aide d'une balance analytique ou d'une microbalance : la zone était soigneusement découpée dans du papier et pesée, de même qu'un morceau du même papier d'une zone précisément connue ; une règle de trois a conduit au résultat.

Aires de certaines figures géométriques

Dans le tableau suivant, certaines figures de la géométrie plane sont répertoriées avec des formules pour calculer leur surface.

personnage/objet	superficie${\displaystyle A}$	désignations
rectangle	${\displaystyle A=a\cdot b}$
Triangle	${\displaystyle A={\frac {g\cdot h}{2}}}$ ${\displaystyle \quad ={\frac {1}{2}}ab\sin(\gamma )}$ ${\displaystyle \quad ={\sqrt {s(sa)(sb)(sc)}}}$	${\displaystyle s={\tfrac {1}{2}}(a+b+c)}$
égal Triangle	${\displaystyle A={\frac {c}{4}}{\sqrt {4a^{2}-c^{2}}}}$
égal. Triangle	${\displaystyle A={\frac {\sqrt {3}}{4}}a^{2}\,\!}$
trapèze	${\displaystyle A={\frac {a+c}{2}}\cdot h}$
Rhombe	${\displaystyle A={\frac {d_{1}\cdot d_{2}}{2}}}$
parallélogramme	${\displaystyle A=a\cdot h_{a}}$
habituel hexagone	${\displaystyle A={\frac {3{\sqrt {3}}}{2}}a^{2}}$
habituel polygone ( pages) ${\displaystyle n}$	${\displaystyle A=n{\frac {ar}{2}}={\frac {Ur}{2}}}$ ${\displaystyle \quad ={\tfrac {1}{4}}na^{2}\cot({\tfrac {\pi }{n}})}$ ${\displaystyle \quad =nr^{2}\tan({\tfrac {\pi }{n}})}$ ${\displaystyle \quad ={\tfrac {1}{4n}}U^{2}\cot({\tfrac {\pi }{n}})}$ ${\displaystyle \quad ={\tfrac {1}{2}}nR^{2}\sin({\tfrac {2\pi }{n}})\,\!}$	${\displaystyle U=na\ }$( périmètre ) rayon du cercle inscrit rayon du périmètre ${\displaystyle r={\tfrac {a}{2}}\cot({\tfrac {\pi }{n}}),}$ ${\displaystyle {\tfrac {a}{2}}=r\tan({\tfrac {\pi }{n}})=R\sin({\tfrac {\pi }{n}})}$ ${\displaystyle r:}$ ${\displaystyle R:}$
Cercle	${\displaystyle A=\pi r^{2}={\frac {\pi }{4}}d^{2}}$
ellipse	${\displaystyle A=\pi ab}$
intégral	${\displaystyle A=\int _{a}^{b}f(x)\mathrm {d} x,\ f(x)\geq 0}$
Formule de Leibniz	${\displaystyle A={\frac {1}{2}}\int _{a}^{b}(x(t)y^{\prime }(t)-y(t)x^{\prime }(t))dt}$

Pour déterminer l'aire d'un polygone , vous pouvez le trianguler, c'est-à-dire le diviser en triangles en traçant des diagonales, puis déterminer les aires des triangles et enfin additionner ces aires partielles. Si les coordonnées , , des points d'angle du polygone sont connues dans un système de coordonnées cartésien , l'aire peut être calculée à l'aide de la formule trapézoïdale de Gauss :${\displaystyle (x_{i},y_{i})}$${\displaystyle i=1\dotsc n}$${\displaystyle n}$

${\displaystyle A={\frac {1}{2}}\sum _{i=1}^{n}(y_{i}+y_{i+1})(x_{i}-x_{i+1})}$

Ce qui suit s'applique aux indices : avec est et avec est signifié. La somme est positive si les points d'angle sont traversés selon le sens de rotation du système de coordonnées . En cas de résultats négatifs, le montant peut devoir être sélectionné. Le théorème de Pick peut être utilisé en particulier pour les surfaces polygonales avec des points de grille comme coins . D'autres zones peuvent généralement être facilement approximées par des polygones , de sorte qu'une valeur approximative peut facilement être obtenue. ${\displaystyle x_{n+j}}$${\displaystyle x_{j}}$${\displaystyle y_{n+j}}$${\displaystyle y_{j}}$

Calcul de certaines surfaces

Voici quelques formules typiques pour calculer les surfaces :

personnage/objet	surface${\displaystyle A}$	désignations
Dé	${\displaystyle A=6a^{2}}$
cuboïde	${\displaystyle A=2(ab+ac+bc)}$
tétraèdre	${\displaystyle A={\sqrt {3}}\,a^{2}}$
sphère ( surface sphérique )	${\displaystyle A=4\pi r^{2}=\pi d^{2}}$
cylindre	${\displaystyle A=2\pi r(r+h)}$
cône	${\displaystyle A=\pi r(r+{\sqrt {r^{2}+h^{2}}})}$
torus	${\displaystyle A=4\pi ^{2}\cdot R\cdot r}$
surface de révolution	${\displaystyle A=2\pi \int _{a}^{b}\!f(x){\sqrt {1+\left[f'(x)\right]^{2}}}\mathrm {d} x}$ (rotation autour de l'axe x)

Une procédure typique pour déterminer de telles surfaces est ce que l'on appelle le "déroulage" ou le "déroulage" dans le plan, c'est-à-dire que l'on essaie de cartographier la surface dans le plan de telle manière que l'aire reste la même, puis on détermine l'aire de les plans résultants Figure. Cependant, cela ne fonctionne pas avec toutes les surfaces, comme le montre l'exemple de la sphère. Des méthodes d' analyse sont utilisées pour déterminer de telles surfaces , dans l'exemple de la sphère on peut utiliser des surfaces de révolution. La première règle de Guldin conduit souvent à un succès rapide, par exemple avec le tore.

calcul intégral

L'aire sous la courbe de a à b est approchée par des rectangles

Le calcul intégral a été développé, entre autres, pour déterminer les aires sous les courbes, c'est-à-dire sous les graphes de fonctions . L'idée est d'approximer la zone entre la courbe et l'axe par une série de rectangles étroits, puis de laisser la largeur de ces rectangles s'approcher de 0 dans un processus de limitation. La convergence de cette limite dépend de la courbe utilisée. Si l'on regarde une zone limitée, comme la courbe sur un intervalle limité comme dans le dessin de droite, les théorèmes d'analyse montrent que la continuité de la courbe est déjà suffisante pour assurer la convergence du processus limite. Le phénomène se produit que les zones en dessous de la${\displaystyle x}$${\displaystyle [a,b]}$${\displaystyle x}$-axe devient négatif, ce qui peut être indésirable lors de la détermination des surfaces. Si vous voulez éviter cela, vous devez aller à la valeur absolue de la fonction.

Courbe en cloche de Gauss

Si l'on veut également autoriser les limites d'intervalle et , on détermine d'abord les aires pour les limites finies et comme on vient de le décrire, puis on permet à , ou aux deux, de s'efforcer dans un autre processus de limite. Il peut arriver ici que ce processus limite ne converge pas, par exemple avec des fonctions oscillantes comme la fonction sinus . Si l'on se limite aux fonctions qui ont leur graphe de fonction dans le demi-plan supérieur, alors ces effets d'oscillation ne peuvent plus se produire, mais il arrive que l'aire comprise entre la courbe et${\displaystyle -\infty }$${\displaystyle +\infty }$${\displaystyle a}$${\displaystyle b}$${\displaystyle a\to -\infty }$${\displaystyle b\to +\infty }$${\displaystyle x}$-axe devient infini. Puisque la superficie totale a une étendue infinie, c'est même un résultat plausible et finalement attendu. Cependant, si la courbe s'approche suffisamment rapidement de l'axe - pour des points éloignés de 0 , le phénomène peut se produire que même une surface étendue à l'infini a une aire finie. Un exemple bien connu qui est important pour la théorie des probabilités est la zone entre la courbe en cloche gaussienne${\displaystyle x}$

${\displaystyle f(x)={\tfrac {1}{\sqrt {2\pi }}}\cdot \mathrm {e} ^{-{\frac {1}{2}}x^{2}}}$

et l' axe. Bien que l'aire varie de à , l'aire est égale à 1. ${\displaystyle x}$${\displaystyle -\infty }$${\displaystyle +\infty }$

En essayant de calculer d'autres aires, par exemple sous des courbes discontinues, on se heurte finalement à la question de savoir quelles quantités dans le plan devraient avoir une aire significative. Cette question s'avère difficile, comme expliqué dans l'article sur le problème de la mesure . Il s'avère que le concept intuitif d'aire utilisé ici ne peut pas être étendu de manière significative à tous les sous-ensembles du plan.

géométrie différentielle

En géométrie différentielle , l'aire d'une surface plane ou courbe est calculée en utilisant les coordonnées comme intégrale d' aire :${\displaystyle F}$${\displaystyle (u,v)}$

${\displaystyle \iint _{F}\mathrm {d} \sigma }$

L'élément d'aire correspond à la largeur de l'intervalle dans le calcul intégral unidimensionnel . Il spécifie la zone du parallélogramme couverte par les tangentes aux lignes de coordonnées avec des longueurs de côté et . L'élément de surface dépend du système de coordonnées et de la courbure gaussienne de la surface. ${\displaystyle \mathrm {d} \sigma }$${\displaystyle \mathrm {d} x}$${\displaystyle \mathrm {d} u}$${\displaystyle \mathrm {d} v}$

En coordonnées cartésiennes , l'élément de zone est . Sur la surface sphérique avec le rayon et la longueur ainsi que la largeur comme paramètres de coordonnées s'applique . Pour la surface d'une sphère ( ) on obtient l'aire : ${\displaystyle (x,y)}$${\displaystyle \mathrm {d} \sigma =\mathrm {d} x\,\mathrm {d} y}$${\displaystyle r}$${\displaystyle L}$${\displaystyle B}$${\displaystyle \mathrm {d} \sigma =r^{2}\cos B\,\mathrm {d} B\,\mathrm {d} L}$${\displaystyle -\pi /2\leq B\leq \pi /2,-\pi \leq L\leq \pi }$

${\displaystyle A=r^{2}\int _{-\pi }^{\pi }\int _{-\pi /2}^{\pi /2}\cos B\,\mathrm {d} B\,\mathrm {d} L=r^{2}\int _{-\pi }^{\pi }\left[\sin B\right]_{-\pi /2}^{\pi /2}\,\mathrm {d} L=2r^{2}\int _{-\pi }^{\pi }\mathrm {d} L=4\pi r^{2}}$

Pour calculer l'élément de surface, il n'est pas absolument nécessaire de connaître la position d'une surface spatiale dans l'espace. L'élément de zone ne peut être dérivé que de dimensions pouvant être mesurées dans la zone et fait donc partie de la géométrie interne de la zone. C'est aussi la raison pour laquelle l'aire d'une surface (développable) ne change pas au cours du développement et peut donc être déterminée en développant dans un plan.

les surfaces en physique

Naturellement, les aires apparaissent aussi en physique comme une grandeur à mesurer. Les surfaces sont généralement mesurées indirectement à l'aide des formules ci-dessus. Les tailles typiques où les surfaces se produisent sont :

• Pression = force par zone
• Intensité = énergie par temps et surface
• Moment magnétique d'une boucle conductrice = courant multiplié par la zone qui l'entoure
• Tension superficielle = Travail effectué pour augmenter la surface par surface supplémentaire créée
• Densité de charge de surface = charge par surface
• Densité de courant = courant par zone parcourue

Aire en tant que vecteur

Souvent, le visage se voit également attribuer une direction perpendiculaire au visage, faisant du visage un vecteur et lui donnant une orientation en raison des deux choix possibles de direction perpendiculaire . La longueur du vecteur est une mesure de la surface. Pour un parallélogramme délimité par des vecteurs et , c'est le produit vectoriel${\displaystyle {\vec {a}}}$${\displaystyle {\vec {b}}}$

${\displaystyle {\vec {a}}\times {\vec {b}}}$.

S'il s'agit de surfaces, le champ de vecteurs normaux est généralement utilisé afin de pouvoir leur affecter localement une direction en tout point. Cela conduit à des quantités de flux , qui sont définies comme le produit scalaire du champ vectoriel considéré et de la surface (en tant que vecteur). Ainsi, le courant est calculé à partir de la densité de courant selon ${\displaystyle I}$${\displaystyle {\vec {J}}}$

${\displaystyle I=\int \limits _{A}{\vec {J}}\cdot \mathrm {d} {\vec {A}}}$,

où dans l'intégrale est le produit scalaire

${\displaystyle {\vec {J}}\cdot \mathrm {d} {\vec {A}}}$

est formé. Les formules de calcul des surfaces sont utiles pour évaluer ces intégrales.

En physique, il existe également des tailles de surface qui sont en fait déterminées expérimentalement, telles que les sections efficaces de diffusion. Ceci est basé sur l'idée qu'un flux de particules frappe un objet cible fixe, la soi-disant cible, et que les particules dans le flux de particules frappent les particules sur la cible avec une certaine probabilité. Le comportement de diffusion mesuré macroscopiquement permet alors de tirer des conclusions sur les aires de section transversale que les particules cibles opposent aux particules actuelles. La taille ainsi déterminée a la dimension d'une surface. Étant donné que le comportement de diffusion dépend non seulement de variables géométriques, mais également d'autres interactions entre les partenaires de diffusion, la zone mesurée ne peut pas toujours être directement assimilée à la section géométrique des partenaires de diffusion. On parle alors plus généralement de section efficace , qui a aussi la dimension d'une aire.

Calcul de surface dans l'arpentage

Les superficies des propriétés, les parties de propriétés, les pays ou d'autres zones ne peuvent généralement pas être déterminés à l'aide des formules des figures géométriques simples. Ces zones peuvent être calculées graphiquement, semi-graphiquement, à partir de mesures sur le terrain ou à partir de coordonnées. ^[1]

Pour les méthodes graphiques, une cartographie de la zone doit être disponible. Les zones dont les limites sont formées par un polygone peuvent être décomposées en triangles ou en trapèzes dont les lignes de base et les hauteurs sont mesurées. Les surfaces des surfaces partielles et enfin la surface de la surface totale sont alors calculées à partir de ces dimensions. Le calcul de surface semi-graphique est utilisé lorsque la surface peut être décomposée en triangles étroits dont la base courte a été précisément mesurée sur le terrain. Étant donné que l' erreur relative de la zone est principalement déterminée par l'erreur relative de la base courte, mesurer la base sur le terrain plutôt que sur la carte peut augmenter la précision de la zone par rapport à la méthode purement graphique.

Les surfaces irrégulières peuvent être enregistrées à l'aide d'un panneau de verre carré. En dessous, celui-ci porte une grille de carrés dont la longueur de côté est connue (par exemple 1 millimètre). Le plateau est placé sur la zone cartographiée et la zone déterminée en comptant les cases qui se trouvent dans la zone.

Une harpe planimétrique peut être utilisée pour les longues surfaces. Celui-ci consiste en une nappe de lignes parallèles dont l'espacement uniforme est connu. La harpe planimétrique est placée sur la surface de manière à ce que les lignes soient approximativement perpendiculaires à la direction longitudinale de la surface. Cela divise la zone en trapèzes dont les lignes centrales sont ajoutées à l'aide d'un diviseur . La surface peut être calculée à partir de la somme des longueurs des lignes centrales et de la distance entre les lignes.

Planimètre polaire, à droite le palpeur avec loupe, à gauche le galet avec compteur, au dessus la perche fixée lors de la mesure

Le planimètre , instrument d'intégration mécanique , est particulièrement adapté pour déterminer l'aire de surfaces à frontières curvilignes . La limite doit être franchie avec le palpeur du planimètre. Lors de la conduite autour de la zone, un rouleau tourne et la rotation du rouleau et la taille de la zone peuvent être lues à partir d'un compteur mécanique ou électronique. La précision dépend de la précision avec laquelle l'éditeur trace le bord de la surface avec le traceur. Le résultat est d'autant plus précis que le périmètre est petit par rapport à la surface.

Le calcul de surface à partir de mesures sur le terrain peut être utilisé si la surface peut être décomposée en triangles et en trapèzes et si les distances nécessaires pour calculer la surface ont été mesurées sur le terrain. Si les points d'angle de la zone ont été inclinés sur une ligne de mesure à l'aide de la méthode orthogonale , la zone peut également être calculée à l'aide de la formule trapézoïdale gaussienne .

Aujourd'hui, les superficies sont souvent calculées à partir de coordonnées. Il peut s'agir, par exemple, des coordonnées des points limites dans le cadastre immobilier ou des points d'angle d'une zone dans un système d'information géographique . Les sommets sont souvent reliés par des lignes droites, parfois par des arcs de cercle. Par conséquent, la surface peut être calculée à l'aide de la formule trapézoïdale gaussienne. Dans le cas d'arcs de cercle, les segments de cercle entre le côté du polygone et l'arc de cercle doivent être pris en compte. Si le contenu d'une zone plus irrégulière doit être déterminé dans un système d'information géographique, la zone peut être approchée par un polygone avec des côtés courts.

Voir également

• Magnitude (superficie)

les détails

1. ↑ Heribert Kahmen : Arpentage I. Walter de Gruyter, Berlin 1988.

liens web

Wiktionnaire : zone  – explications du sens, origine des mots, synonymes, traductions

• Conversion : Câble rond, fil et conduit - Diamètre en section circulaire et section en diamètre
• Eric W. Weisstein : Zone . Dans : MathWorld (anglais).