Polygone

Différentes conceptions de polygones et de surfaces polygonales

Un polygone (du grec ancien πολυγώνιον polygṓnion 'polygone'; de πολύς polýs 'beaucoup' et γωνία gōnía 'angle') ^[1] ou polygone est en géométrie élémentaire une figure géométrique plane qui est formée par une ligne fermée .

Un polygone est un polytope à deux dimensions .

Un polygone est obtenu en reliant au moins trois points différents (non colinéaires ) dans un plan de dessin par des lignes . Cela crée une ligne fermée ( ligne polygonale ) avec autant de coins , par exemple un triangle (3 points, 3 lignes) ou un carré (4 points, 4 lignes).

La zone fermée est souvent également appelée polygone, comme en planimétrie .

Définition et désignations

Un polygone est une figure définie par un tuple de points distincts. ${\displaystyle P:=\left(P_{1},P_{2},\dotsc ,P_{n}\right),P_{i}\in \mathbb {R} ^{2},1\leq i\leq n}$${\displaystyle n}$

• Les points sont appelés les sommets ou les coins du polygone pour faire court, un polygone avec des coins est appelé -Eck ou (surtout dans la littérature anglaise) aussi -Gon.${\displaystyle n}$${\displaystyle n}$${\displaystyle n}$${\displaystyle n}$
• Les lignes et sont appelées les côtés du polygone.${\displaystyle {\overline {P_{i}P_{i+1}}}\left(i=1,\dotsc ,n-1\right)}$${\displaystyle {\overline {P_{n}P_{1}}}}$
• Toutes les lignes de connexion entre deux sommets qui ne sont pas des côtés sont appelées diagonales .

Parfois, d'autres conditions sont supposées pour la définition d'un polygone, mais celles-ci ne sont pas formellement nécessaires :

• Un polygone a au moins trois paires de sommets différents. Cela exclut un "double". ^[2]
• Trois sommets adjacents ne se trouvent pas sur une ligne droite. , , et , , sont également considérés comme des sommets adjacents. Cela exclut les coins à angle droit.${\displaystyle P_{n}}$${\displaystyle P_{1}}$${\displaystyle P_{2}}$${\displaystyle P_{n-1}}$${\displaystyle P_{n}}$${\displaystyle P_{1}}$

classification

Figure historique des polygones (1699)

Par nombre de coins

Les polygones sont généralement nommés en fonction du nombre de sommets (sévérité du polygone).

Polygone régulier

Si un polygone a des côtés égaux et des angles intérieurs égaux, il est appelé polygone régulier ou polygone régulier. De nombreux polygones réguliers peuvent être construits à l'aide d'un compas et d'une règle ( Polygone constructible ).

Liste des polygones réguliers

coins	la désignation	grec	boussole et règle	une fonction spéciale
3	Triangle	trigone	J	Premier Fermat premier 3 = 2 2 0 + 1
4	carré	quadrilatère	J	carré
5	Pentagone	Pentagone	J	Second Fermat premier 5 = 2 2 1 + 1
6	hexagone	hexagone	J
sept	heptagone	heptagone	N	Heptagone d'Archimède (construction approximative)
8ème	octogone	octogone	J	anglais oct a gon
9	neufgon	nonagone	N	Ennéagone rare
dix	décagone	décagone	J
11	triangle des elfes	hendécagone	N
12	dodécagone	dodécagone	J
13	treize-gon	tridécagone	N
14	quatorze gon	tétradécagone	N
15	à quinze côtés	pentadécagone	J
16	hexagone	hexadécagone	J
17	dix-sept ans	heptadécagone	J	Troisième Fermat premier 17 = 2 2 2 + 1
18	octogone	octodécagone	N	Anglais oct un décagone, octakaidecagon
19	dix-neuf	nonadécagone	N	Anglais aussi enneadecagon , enneakaidecagon
20	20gon	icosagone	J
21	vingt et un coin	Ikosihenagon	N
24	vingt-quatre coins	icositétragon	J
30	trident	triacontagone	J
32	triangle trente-deux	triacontadigon	J
40	quadrilatère	tétracontagone	J
50	Pentagone	pentacontagone	N
51	cinquante et un coin	pentacontahenagon	J
60	hexagone	hexacontagone	J
70	soixante-dix points	heptacontagone	N
80	octogone	octoconagone	J	Anglais oct a contagon
85	Quatre-vingt-cinq coins	octocontapentagone	J	Anglais oct a contapentagon
90	quatre-vingt-dix points	contact ennea	N
100	centogone	hectogon	N
257	257 coin		J	Quatrième Fermat Prime 257 = 2 2 3 + 1
1 000	mille agon	Chiliagon	N
10 000	dix mille coin	Myriagone	N
65 537	65 537 coin		J	Cinquième Fermat premier 65537 = 2 2 4 + 1
100 000	Cent mille carrés		N
1 000 000	millions de coin	mégagone	N
3 486 784 401	3 486 784 401 coin		N
4 294 967 295	4 294 967 295 coin		J	Le plus grand nombre impair connu de sommets qui peuvent théoriquement être construits avec une boussole et une règle
10 100	Googo fuite	Googolgon	N	Numéro de coin : un 1 suivi de 100 zéros
∞	infini	Apeirogon	N	Forme limite théorique avec une infinité de côtés

Plus de types

Classification des polygones

Polygone renversé

Avec des polygones simples , les arêtes ne se touchent qu'aux points d'angle ; dans le cas de polygones renversés , les arêtes ont des points d'intersection supplémentaires en raison du chevauchement.

Polygone sans chevauchement

Les polygones non superposés peuvent être convexes (tous les angles intérieurs sont inférieurs à 180°) ou non convexes (au moins un angle intérieur est supérieur à 180°).

Polygone planaire

Polygone dans le plan (planaire).

Polygone non plan

Polygone dans l'espace (non plan).

Les polygones peuvent être équilatéraux ou équiangulaires :

Polygone régulier

Si un polygone a des côtés égaux et des angles intérieurs égaux, alors on l'appelle un polygone régulier ou un polygone régulier.

polygone étoile

Les polygones réguliers renversés planaires sont également connus sous le nom de polygones en étoile en raison de leur apparence .

Polygone orthogonal

Pour les polygones orthogonaux, toutes les arêtes se rencontrent à angle droit (c'est-à-dire que l'angle intérieur à chaque arête est de 90° ou 270°).

Les caractéristiques

angle

Dans un coin plat et non glissé , la somme correspond aux angles intérieurs${\displaystyle n}$

${\displaystyle \alpha _{1}+\dotsb +\alpha _{n}=(n-2)\cdot 180^{\circ }}$.

La somme des angles extérieurs s'applique alors quel que soit le nombre de coins

${\displaystyle \alpha _{1}'+\dotsb +\alpha _{n}'=360^{\circ }}$.

De plus, si tous les angles intérieurs et extérieurs ont la même taille, alors ils ont la valeur

${\displaystyle \alpha ={\frac {(n-2)}{n}}\cdot 180^{\circ }}$   ou   .${\displaystyle \alpha '={\frac {1}{n}}\cdot 360^{\circ }}$

diagonales

La considération suivante s'applique au calcul du nombre de diagonales pour les polygones non superposés :

1. Chacun des coins peut être relié à l'un des autres coins par une ligne.${\displaystyle n}$
2. La connexion d'un coin à l'autre est identique à la connexion de à .${\displaystyle P_{a}}$${\displaystyle P_{b}}$${\displaystyle P_{b}}$${\displaystyle P_{a}}$
3. Exactement les connexions sont les côtés du polygone.${\displaystyle n}$

Donc un coin non croisé a exactement des diagonales. Un polygone non convexe a des diagonales à l'extérieur du polygone (dans la région d'un angle intérieur réflexe). ${\displaystyle n}$${\displaystyle {\tfrac {n\cdot (n-1)}{2}}-n={\tfrac {n\cdot (n-3)}{2}}}$

Portée

Si les sommets d'un polygone simple plan sont donnés par des coordonnées cartésiennes, le périmètre du polygone peut être trouvé en additionnant les longueurs des côtés calculées à l'aide du théorème de Pythagore :${\displaystyle (x_{i},y_{i})}$

${\displaystyle \mathrm {U} \ =\ {\sqrt {(x_{1}-x_{n})^{2}+(y_{1}-y_{n})^{2}}}\ +\ \sum _{i=1}^{n-1}{\sqrt {(x_{i+1}-x_{i})^{2}+(y_{i+1}-y_{i})^{2}}}}$

Surface

Si les sommets d'un polygone plan simple orienté positif sont donnés par des coordonnées cartésiennes, l'aire du polygone peut être calculée à l'aide de la formule trapézoïdale gaussienne et de ses variantes : ${\displaystyle (x_{i},y_{i})}$

• ${\displaystyle A={\frac {1}{2}}\sum _{i=1}^{n}(y_{i}+y_{i+1})(x_{i}-x_{i+1})}$
• ${\displaystyle A={\frac {1}{2}}\sum _{i=1}^{n}(x_{i}y_{i+1}-x_{i+1}y_{i})={\frac {1}{2}}\sum _{i=1}^{n}{\begin{vmatrix}x_{i}&x_{i+1}\\y_{i}&y_{i+1}\end{vmatrix}}}$
• ${\displaystyle A={\frac {1}{2}}\sum _{i=1}^{n}y_{i}(x_{i-1}-x_{i+1})}$

Dans les formules : . ${\displaystyle P_{0}=P_{n},P_{n+1}=P_{1}}$

L'aire des polygones de réseau dont les sommets se trouvent tous sur un réseau peut être calculée à l'aide du théorème de Pick .

algorithmes

superficie

La représentation suivante de la formule trapézoïdale gaussienne est particulièrement adaptée à la programmation , car les tableaux sont idéaux pour stocker les coordonnées , l'indexation des tableaux dans de nombreux langages de programmation commence de toute façon à zéro et la fonction modulo peut donc être utilisée de manière particulièrement élégante. La fonction modulo est nécessaire ici pour exclure les erreurs dites off-by-one dans l'indexation des tableaux. où , , , sont les coordonnées des sommets du polygone. ${\displaystyle (x_{i},y_{i})}$${\displaystyle i=0\dotsc n-1}$${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$${\displaystyle n\geq 3}$

${\displaystyle A={\frac {1}{2}}\left|\sum _{i=0}^{n-1}(y_{i}+y_{i+1{\bmod {n}}})(x_{i}-x_{i+1{\bmod {n}}})\right|}$

enveloppe convexe

Enveloppe convexe de points dans le plan

Les algorithmes de détermination de l' enveloppe convexe des points du plan ont un temps d' exécution asymptotique de . La preuve se fait par réduction aux nombres de tri (voir méthode de tri ). Si seuls les points se trouvent sur le bord de l'enveloppe convexe, la borne est à . ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \Omega (n\log n)}$${\displaystyle n}$${\displaystyle k}$${\displaystyle n}$${\displaystyle \Omega (n\log k)}$

Il existe plusieurs algorithmes pour déterminer l' enveloppe convexe :

• Algorithme de balayage de Graham
• Algorithme d'emballage cadeau
• QuickHull
• Algorithme incrémentiel
• Algorithme de Chan

point dans le polygone

Le nombre de fois où le rayon coupe les arêtes indique si le point se trouve à l'intérieur ou à l'extérieur du polygone.

Il existe un algorithme simple qui peut être utilisé pour vérifier si un point est à l'intérieur d'un polygone dans le plan :

Un rayon horizontal est tracé à travers le point à l'étude et le nombre de fois que le rayon coupe les bords du polygone est examiné. Le point est à l'intérieur du polygone si le nombre d' intersections à droite du point est impair. Si le nombre est pair, le point est à l'extérieur.

utilisation

En informatique , les approximations importantes des polygones complexes sont l' enveloppe convexe et le rectangle de délimitation minimal . Dans les algorithmes, une éventuelle intersection non vide avec un autre objet géométrique est souvent d'abord testée (ou exclue) à l'aide de l'approximation, puis le polygone entier est chargé en mémoire et une intersection exacte est calculée.

En plus d'autres méthodes de modélisation géométrique , l' infographie 3D modélise toutes les surfaces (y compris courbes) sous la forme d'un maillage polygonal . Les maillages triangulaires sont particulièrement efficaces pour afficher rapidement des surfaces, mais ne peuvent pas non plus être interpolés par des surfaces de subdivision . Il existe un certain nombre de structures de données bien connues pour stocker des réseaux polygonaux.

En architecture, les polygones réguliers sont souvent utilisés comme plans d'étage. Exemples connus :

• Pentagone : Pentagone à Arlington, Virginie
• Octogone : Castel del Monte dans les Pouilles, Italie
• 10-corner : St. Gereon (Cologne) , Rhénanie du Nord-Westphalie
• 12-Eck : Saarpolygon , mémorial des mines de charbon à Ensdorf (Sarre), Sarre
• 16-corner : Phare Huisduinen près de Den Helder, Pays-Bas
• 18-Eck : Salle de la Libération à Kelheim, Bavière
• 30-Eck : Wiener Riesenrad à Vienne, Autriche

Exemples de polygones en génie mécanique

En outre, le terme polygone est également utilisé de manière analogue pour une utilisation en tant que liaison arbre-moyeu polygonale à ajustement de forme dans la construction mécanique. Tous les profils polygonaux sont concevables ici.

Exemples de polygones en géographie

États américains aux contours polygonaux

Les frontières des États américains du Colorado et du Wyoming entourent chacune approximativement un rectangle et donc un polygone convexe.

Les États du Nouveau-Mexique et de l'Utah ont chacun la forme d'un polygone concave.

Voir également

• Polygone constructible
• polyèdre

liens web

Commons : Polygon  - Collection d'images, de vidéos et de fichiers audio

Wiktionnaire : Polygone  – explications du sens, origine des mots, synonymes, traductions

Wiktionnaire : Polygone  – Explications de sens, origine des mots, synonymes, traductions

• Eric W. Weisstein : Polygone . Dans : MathWorld (anglais).
• Sur les mathématiques des polygones irréguliers
• Calcul en ligne de polygones plans avec sortie graphique

les détails

1. ↑ Wilhelm Gemoll : dictionnaire scolaire et manuel grec-allemand . G. Freytag Verlag / Hölder-Pichler-Tempsky, Munich/Vienne 1965. 
2. ↑ Dieter Neßelmann : 1 Une structure axiomatique de la géométrie euclidienne, Théorème 1.1.3. Dans : Manuscrit de conférence. Université de Rostock, 22 février 2010, pp. 4–5 , récupéré le 23 octobre 2021 .