พื้นที่ผิว

จากวิกิพีเดีย สารานุกรมเสรี
ข้ามไปที่การนำทาง ไป ที่การค้นหา
ผลรวมของพื้นที่ของตัวเลขทั้งสามบนพื้นหลังตาหมากรุกมีค่าประมาณ 15.57 สี่เหลี่ยม

พื้นที่ เป็น ตัว วัด ขนาดของพื้นที่ พื้นที่หมายถึง โครงสร้าง สองมิตินั่นคือ พื้นที่ที่สามารถเคลื่อนที่ได้สองทิศทางอิสระ ซึ่งรวมถึงตัวเลขปกติของเรขาคณิตระนาบเช่นสี่เหลี่ยมผืนผ้า รูป หลายเหลี่ยมวงกลมแต่ยังรวมถึงพื้นผิวที่มีขอบเขตของวัตถุสามมิติ เช่น ทรง ลูกบาศก์ทรงกลม ทรงกระบอกเป็นต้นพื้นผิวเหล่านี้เพียงพอสำหรับการใช้งานหลายประเภท พื้นผิวที่ซับซ้อนมากขึ้นมักจะเป็น ประกอบด้วยพวกเขาหรือประมาณ โดยพวก เขา

พื้นที่นี้มีบทบาทสำคัญในวิชาคณิตศาสตร์ ในการกำหนดปริมาณทางกายภาพจำนวนมาก แต่ยังรวมถึงในชีวิตประจำวันด้วย ตัวอย่างเช่นความดันถูกกำหนดเป็นแรงต่อพื้นที่ หรือโมเมนต์แม่เหล็กของวงตัวนำถูกกำหนดให้เป็นกระแสคูณด้วยพื้นที่ ขนาดทรัพย์สินและอพาร์ตเมนต์เปรียบเทียบได้โดยการระบุพื้นที่ชั้น ปริมาณการใช้วัสดุ เช่น เมล็ดพันธุ์สำหรับทุ่งหรือสีสำหรับทาสีพื้นที่ สามารถประมาณได้โดยใช้พื้นที่

พื้นที่ถูกทำให้เป็นมาตรฐานในแง่ที่ว่าหน่วยกำลังสองกล่าวคือ สี่เหลี่ยมจัตุรัสที่มีความยาวด้าน 1 มีพื้นที่ 1 แสดง เป็นหน่วย วัด สี่เหลี่ยมจัตุรัสด้านยาว 1  ม. มี พื้นที่ 1  ม. 2 . ในการทำให้พื้นที่ใกล้เคียงกันในแง่ของพื้นที่นั้น จะต้องกำหนดให้ พื้นที่ที่ เท่ากันมีพื้นที่เท่ากัน และพื้นที่ของพื้นที่รวมกันเป็นผลรวมของพื้นที่ของพื้นที่บางส่วน.

ตามกฎแล้ว พื้นที่ผิวจะไม่ถูกวัดโดยตรง แต่จะวัดความยาวบางอย่างแทน จากนั้นจึงคำนวณพื้นที่ ในการวัดพื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าหรือทรงกลม มักจะวัดความยาวด้านข้างของรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าหรือเส้นผ่านศูนย์กลางของทรงกลม และรับพื้นที่ที่ต้องการโดยใช้สูตรทางเรขาคณิตตามรายการด้านล่าง

ในเทคโนโลยี เครื่องวัด ระนาบทางกล ใช้สำหรับการกำหนด พื้นที่ โดยประมาณ ผลลัพธ์สามารถอ่านได้จากมาตราส่วน นักเคมีใช้ในการกำหนดเนื้อหาของพื้นที่ใดๆ โดยใช้เครื่อง ชั่ง เชิงวิเคราะห์หรือ เครื่องชั่งอ่านละเอียดระดับ ไมโคร : บริเวณนั้นถูกตัดออกจากกระดาษอย่างระมัดระวังและชั่งน้ำหนัก เช่นเดียวกับกระดาษชิ้นเดียวกันของพื้นที่ที่ทราบแน่ชัด กฎสามข้อนำไปสู่ผลลัพธ์

พื้นที่ของรูปทรงเรขาคณิตบางส่วน

ในตารางต่อไปนี้ตัวเลข บางส่วน จากเรขาคณิตระนาบถูกแสดงรายการพร้อมกับสูตรสำหรับการคำนวณพื้นที่

ในการกำหนดพื้นที่ของรูปหลายเหลี่ยมคุณสามารถสร้างรูปสามเหลี่ยมได้ เช่น แบ่งออกเป็นสามเหลี่ยมโดยวาดเส้นทแยงมุม จากนั้นกำหนดพื้นที่ของรูปสามเหลี่ยมและเพิ่มพื้นที่บางส่วนเหล่านี้ในที่สุด ถ้าพิกัด, , ของจุดมุมของรูปหลายเหลี่ยมเป็นที่รู้จักในระบบพิกัดคาร์ทีเซียนพื้นที่สามารถคำนวณได้โดยใช้สูตร เกาส์เซียนสี่เหลี่ยมคางหมู :

ข้อมูลต่อไปนี้ใช้กับดัชนี: with is และ with หมายถึง ผลรวมจะเป็นบวกหากจุดมุมเคลื่อนที่ไป ตาม ทิศทางการหมุนของระบบพิกัด กรณีผลลบ อาจต้อง เลือกจำนวนเงิน ทฤษฎีบทของ Pickสามารถใช้ได้โดยเฉพาะกับพื้นผิวหลายเหลี่ยมที่มีจุดกริดเป็นมุม พื้นที่อื่นๆ มักจะสามารถประมาณ ได้อย่างง่ายดายด้วยรูปหลายเหลี่ยม เพื่อให้ สามารถหาค่า โดยประมาณได้ง่าย

การคำนวณพื้นผิวบางส่วน

ต่อไปนี้เป็นสูตรทั่วไปสำหรับการคำนวณพื้นผิว:

ขั้นตอนทั่วไปในการกำหนดพื้นผิวดังกล่าวคือสิ่งที่เรียกว่า "การคลาย" หรือ "การคลาย" ในระนาบ นั่นคือ เราพยายามทำแผนที่พื้นผิวเข้าไปในระนาบในลักษณะที่พื้นที่ยังคงเหมือนเดิม จากนั้นจึงกำหนดพื้นที่ของ ​​ระนาบที่ได้ อย่างไรก็ตาม วิธีนี้ใช้ไม่ได้กับพื้นผิวทั้งหมด ดังตัวอย่างที่แสดงในรูปทรงกลม วิธี การวิเคราะห์ ใช้ เพื่อกำหนดพื้นผิวดังกล่าวในตัวอย่างของทรงกลมสามารถใช้พื้นผิว ของ การปฏิวัติได้ กฎข้อแรกของกุลดิน มักจะนำไปสู่ ความสำเร็จอย่างรวดเร็ว เช่น กับพรู

แคลคูลัสเชิงปริพันธ์

พื้นที่ใต้เส้นโค้งจากaถึงbถูกประมาณด้วยสี่เหลี่ยม

แคลคูลัสอินทิกรัลได้รับการพัฒนาเพื่อกำหนดพื้นที่ใต้เส้นโค้ง เช่น ภายใต้กราฟฟังก์ชัน แนวคิดคือการประมาณพื้นที่ระหว่างเส้นโค้งกับแกนด้วยชุดของสี่เหลี่ยมแคบๆ แล้วปล่อยให้ความกว้างของสี่เหลี่ยมเหล่านี้เข้าใกล้ 0 ในกระบวนการจำกัด การบรรจบกันของขีดจำกัดนี้ขึ้นอยู่กับเส้นโค้งที่ใช้ หากเราดูที่พื้นที่จำกัด เช่น เส้นโค้งในช่วงเวลาจำกัดดังในรูปวาดทางด้านขวา ทฤษฎีบทของการวิเคราะห์จะแสดงให้เห็นว่าความต่อเนื่องของเส้นโค้งนั้นเพียงพอแล้วเพื่อให้แน่ใจว่าการบรรจบกันของกระบวนการจำกัด ปรากฏการณ์เกิดขึ้นที่พื้นผิวด้านล่าง-แกนกลายเป็นลบ ซึ่งอาจไม่เป็นที่ต้องการเมื่อกำหนดพื้นที่ผิว หากคุณต้องการหลีกเลี่ยงสิ่งนี้ คุณต้องไปที่ค่าสัมบูรณ์ของฟังก์ชัน

โค้งระฆังเกาส์เซียน

ถ้าใครต้องการอนุญาตให้มีการจำกัดช่วงเวลาและอันดับแรก อันดับแรกจะกำหนดพื้นที่สำหรับขีดจำกัดจำกัดและ ตามที่อธิบายไว้แล้ว จึงอนุญาตหรือทั้งสองอย่างจะพยายามในกระบวนการจำกัดเพิ่มเติม อาจเกิดขึ้นได้ว่ากระบวนการจำกัดนี้ไม่มาบรรจบกัน ตัวอย่างเช่น กับฟังก์ชัน การสั่น เช่นฟังก์ชันไซน์ หากจำกัดตัวเองให้ทำหน้าที่ที่มีกราฟฟังก์ชันอยู่ในระนาบครึ่งบน ผลกระทบจากการสั่นเหล่านี้จะไม่เกิดขึ้นอีกต่อไป แต่พื้นที่ระหว่างเส้นโค้งกับ-แกนกลายเป็นอนันต์ เนื่องจากพื้นที่ทั้งหมดมีขอบเขตไม่สิ้นสุด นี่จึงเป็นผลลัพธ์ที่น่าเชื่อถือและคาดหวังได้ในท้ายที่สุด อย่างไรก็ตาม หากเส้นโค้งเข้าใกล้แกน - อย่างรวดเร็วเพียงพอสำหรับจุดที่อยู่ห่างจาก 0 ปรากฏการณ์อาจเกิดขึ้นได้ว่าแม้แต่พื้นผิวที่ขยายอย่างไม่สิ้นสุดก็มีพื้นที่จำกัด ตัวอย่างที่รู้จักกันดีซึ่งมีความสำคัญสำหรับทฤษฎีความน่าจะเป็นคือพื้นที่ระหว่างเส้นโค้งระฆังแบบเกาส์เซียน

และแกน แม้ว่าพื้นที่จะมีตั้งแต่ถึง, พื้นที่จะเท่ากับ 1

เมื่อพยายามคำนวณพื้นที่อื่นๆ เช่น ภายใต้เส้นโค้งที่ไม่ต่อเนื่องกัน ในที่สุด ก็ต้องเกิดคำถามว่าปริมาณใดในระนาบควรมีพื้นที่ที่มีความหมาย คำถามนี้กลายเป็นคำถามที่ยาก ตามที่อธิบายในบทความเกี่ยวกับ ปัญหา การวัด ปรากฎว่าแนวคิดสัญชาตญาณของพื้นที่ที่ใช้ที่นี่ไม่สามารถขยายไปยังส่วนย่อยทั้งหมดของระนาบได้อย่างมีความหมาย

เรขาคณิตเชิงอนุพันธ์

ในเรขาคณิตเชิงอนุพันธ์พื้นที่ของพื้นผิวเรียบหรือโค้ง คำนวณ โดยใช้พิกัดเป็น อินทิกรัลของ พื้นที่ :

องค์ประกอบพื้นที่สอดคล้องกับความกว้างของช่วง ใน แคลคูลัสปริพันธ์แบบ หนึ่ง มิติ ระบุพื้นที่ของ สี่เหลี่ยมด้านขนาน ที่ แผ่โดยแทนเจนต์ไปยัง เส้น พิกัด ที่ มีความยาวด้านและ. องค์ประกอบของพื้นผิวขึ้นอยู่กับระบบพิกัดและ ความโค้ง ของพื้นผิว แบบเกาส์เซียน

ในพิกัดคาร์ทีเซียนองค์ประกอบของพื้นที่คือ บนพื้นผิวทรงกลมที่มีรัศมีและความยาวตลอดจนความกว้างเป็นพารามิเตอร์พิกัด สำหรับพื้นผิวของทรงกลม ( ) จะได้รับพื้นที่:

ในการคำนวณองค์ประกอบของพื้นที่ ไม่จำเป็นต้องรู้ตำแหน่งของพื้นที่ในอวกาศอย่างแท้จริง องค์ประกอบของพื้นที่สามารถได้มาจากมิติที่สามารถวัดได้ภายในพื้นที่เท่านั้น ดังนั้นจึงเป็นส่วนหนึ่งของเรขาคณิตภายในของพื้นที่ นี่เป็นเหตุผลว่าทำไมพื้นที่ของพื้นผิว (ที่พัฒนาได้) ไม่เปลี่ยนแปลงในระหว่างการพัฒนา ดังนั้นจึงสามารถกำหนดได้โดยการพัฒนาเป็นระนาบ

พื้นผิวในวิชาฟิสิกส์

พื้นที่ตามธรรมชาติยังปรากฏอยู่ในฟิสิกส์เป็นปริมาณที่จะวัด พื้นที่มักจะถูกวัดทางอ้อมโดยใช้สูตรข้างต้น ขนาดทั่วไปที่เกิดบนพื้นผิวคือ:

พื้นที่เป็นเวกเตอร์

บ่อยครั้งที่ใบหน้ายังถูกกำหนดทิศทางในแนวตั้งฉากกับใบหน้า ทำให้ใบหน้าเป็นเวกเตอร์และกำหนดทิศทางของใบหน้าเนื่องจาก ทางเลือกที่เป็นไปได้สองทาง ของ ทิศทางในแนวตั้งฉาก ความยาวของเวกเตอร์เป็นตัววัดพื้นที่ สำหรับ สี่เหลี่ยมด้านขนานที่ล้อมรอบด้วยเวกเตอร์และ นี่คือ ผลิตภัณฑ์เวกเตอร์

.

หากเป็นพื้นผิวสนามเวกเตอร์ ปกติมักจะถูกใช้ เพื่อให้สามารถกำหนดทิศทางให้กับพวกมันในพื้นที่ได้ทุกจุด สิ่งนี้นำไปสู่ ปริมาณ การไหลซึ่งถูกกำหนดให้เป็นผลิตภัณฑ์สเกลาร์ของสนามเวกเตอร์ภายใต้การพิจารณาและพื้นที่ (เป็นเวกเตอร์) กระแสคำนวณจากความหนาแน่นกระแสตาม

,

โดยที่อินทิกรัลคือผลคูณสเกลาร์

ถูกสร้างขึ้น สูตรสำหรับคำนวณพื้นผิวมีประโยชน์ในการประเมินอินทิกรัลดังกล่าว

ในวิชาฟิสิกส์ ยังมีขนาดพื้นผิวที่กำหนดโดยการทดลองจริงๆ เช่นการกระเจิงหน้าตัด. ขึ้นอยู่กับแนวคิดที่ว่ากระแสของอนุภาคกระทบกับวัตถุเป้าหมายคงที่ เป้าหมายที่เรียกว่า และอนุภาคในกระแสของอนุภาคกระทบกับอนุภาคบนเป้าหมายด้วยความน่าจะเป็นที่แน่นอน พฤติกรรมการกระเจิงที่วัดด้วยตาเปล่าทำให้สามารถสรุปข้อสรุปเกี่ยวกับพื้นที่หน้าตัดที่อนุภาคเป้าหมายต่อต้านอนุภาคปัจจุบันได้ ขนาดที่กำหนดในลักษณะนี้มีมิติของพื้นที่ เนื่องจากพฤติกรรมการกระเจิงไม่เพียงขึ้นอยู่กับตัวแปรทางเรขาคณิตเท่านั้น แต่ยังขึ้นกับปฏิสัมพันธ์อื่นๆ ระหว่างคู่ที่กระเจิงด้วย พื้นที่ที่วัดได้จึงไม่สามารถเทียบได้โดยตรงกับส่วนตัดขวางทางเรขาคณิตของคู่ที่กระเจิง จากนั้นเราจะพูดถึงส่วนตัดขวางที่มีประสิทธิภาพซึ่งมีมิติของพื้นที่ด้วย

การคำนวณพื้นที่ในการสำรวจ

พื้นที่ของคุณสมบัติ ส่วนของคุณสมบัติ ประเทศ หรือพื้นที่อื่น ๆ มักจะไม่สามารถกำหนดได้โดยใช้สูตรสำหรับตัวเลขทางเรขาคณิตอย่างง่าย พื้นที่ดังกล่าวสามารถคำนวณได้แบบกราฟิก กึ่งกราฟิก จากการวัดภาคสนามหรือจากพิกัด [1]

สำหรับวิธีการแบบกราฟิก ต้องมีการทำแผนที่ของพื้นที่ พื้นที่ที่มีขอบเขตเกิดขึ้นจากรูปหลายเหลี่ยมสามารถแบ่งออกเป็นสามเหลี่ยมหรือสี่เหลี่ยมคางหมูที่มีการวัดเส้นฐานและความสูง พื้นที่ของพื้นที่บางส่วนและสุดท้ายพื้นที่ของพื้นที่ทั้งหมดจะคำนวณจากมิติเหล่านี้ การคำนวณพื้นที่กึ่งกราฟิกจะใช้เมื่อสามารถแบ่งพื้นที่ออกเป็นสามเหลี่ยมแคบ ๆ ได้ ซึ่งฐานสั้นนั้นได้รับการวัดอย่างแม่นยำในฟิลด์ เนื่องจากความคลาดเคลื่อนสัมพัทธ์ของพื้นที่ส่วนใหญ่ถูกกำหนดโดยความคลาดเคลื่อนสัมพัทธ์ของฐานสั้น การวัดฐานในสนามแทนการวัดบนแผนที่สามารถเพิ่มความแม่นยำของพื้นที่ได้เมื่อเทียบกับวิธีการแบบกราฟิกล้วนๆ

สามารถบันทึกพื้นผิวที่ไม่สม่ำเสมอได้โดยใช้แผงกระจกสี่เหลี่ยม ด้านล่างเป็นตารางสี่เหลี่ยมที่ทราบความยาวด้าน (เช่น 1 มิลลิเมตร) กระดานวางอยู่บนพื้นที่ที่แมปและพื้นที่ที่กำหนดโดยการนับช่องสี่เหลี่ยมที่อยู่ในพื้นที่

พิณ planimeter สามารถใช้กับพื้นผิวที่ยาวได้ ประกอบด้วยแผ่นเส้นขนานที่ทราบระยะห่างสม่ำเสมอ พิณพิณวางบนพื้นผิวในลักษณะที่เส้นตั้งฉากกับทิศทางตามยาวของพื้นผิวโดยประมาณ การทำเช่นนี้จะแบ่งพื้นที่ออกเป็นสี่เหลี่ยมคางหมูที่มีเส้นกึ่งกลางเพิ่มโดยใช้ตัวแบ่ง พื้นที่สามารถคำนวณได้จากผลรวมของความยาวของเส้นกึ่งกลางและระยะห่างระหว่างเส้น

เครื่องวัดระนาบโพลาร์ ด้านขวามีตัวติดตามพร้อมแว่นขยาย ด้านซ้ายลูกกลิ้งพร้อมตัวนับ เหนือเสาจับจ้องอยู่ที่ระหว่างการวัด

เครื่องวัด ระนาบซึ่งเป็นเครื่องมือการรวมทางกลเหมาะอย่างยิ่งสำหรับการกำหนดพื้นที่ของพื้นผิวที่มีขอบเขตโค้ง ต้องข้ามขีด จำกัด ด้วยตัวติดตามของเครื่องวัดระยะ เมื่อขับรถไปรอบๆ พื้นที่ ลูกกลิ้งจะหมุน และสามารถอ่านการหมุนของลูกกลิ้งและขนาดของพื้นที่ได้จากตัวนับแบบกลไกหรือแบบอิเล็กทรอนิกส์ ความแม่นยำขึ้นอยู่กับความแม่นยำของเครื่องมือแก้ไขในการติดตามขอบของพื้นผิวด้วยตัวติดตาม ผลลัพธ์จะแม่นยำยิ่งขึ้นเมื่อเส้นรอบวงมีขนาดเล็กลงเมื่อเทียบกับพื้นที่

การคำนวณพื้นที่จากการวัดภาคสนามสามารถใช้หากพื้นที่สามารถแบ่งออกเป็นสามเหลี่ยมและสี่เหลี่ยมคางหมูและระยะทางที่จำเป็นในการคำนวณพื้นที่ได้รับการวัดในสนาม หากจุดมุมของพื้นที่ทำมุมบนเส้นการวัดโดยใช้ วิธี มุมฉาก พื้นที่สามารถคำนวณได้โดยใช้ สูตร เกาส์เซียนสี่เหลี่ยมคางหมู

ปัจจุบันพื้นที่มักจะคำนวณจากพิกัด ตัวอย่างเช่น พิกัดของจุดเขตแดนในที่ดิน cadastre อสังหาริมทรัพย์หรือจุดมุมของพื้นที่ใน ระบบข้อมูล ทางภูมิศาสตร์ จุดยอดมักเชื่อมต่อกันด้วยเส้นตรง บางครั้งมีส่วนโค้งของวงกลม ดังนั้น พื้นที่สามารถคำนวณได้โดยใช้สูตรเกาส์เซียนสี่เหลี่ยมคางหมู ในกรณีของส่วนโค้งวงกลม ต้องคำนึงถึงส่วน ของวงกลม ระหว่างด้านรูปหลายเหลี่ยมกับส่วนโค้งวงกลมด้วย หากมีการกำหนดเนื้อหาของพื้นที่ที่ผิดปกติมากขึ้นในระบบข้อมูลทางภูมิศาสตร์ พื้นที่สามารถประมาณได้โดยรูปหลายเหลี่ยมที่มีความยาวด้านสั้น

ดูสิ่งนี้ด้วย

รายการ

  1. เฮอริเบิร์ต คาห์เมน: การสำรวจI. วอลเตอร์ เดอ กรอยเตอร์ เบอร์ลิน 1988

ลิงค์เว็บ

วิกิพจนานุกรม: พื้นที่  – คำอธิบายของความหมาย ที่มาของคำ คำพ้องความหมาย คำแปล